Η αφθονία των αποδείξεων και η αυτονομία της γνώσης

Κείμενο: Αντώνιος Χμάντι
Υποψήφιος Διδάκτορας, Τομέας Μαθηματικών
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Στις 8 Σεπτεμβρίου 2026 η OpenAI ανακοίνωσε ότι ένα σύστημά της είχε παραγάγει μια προτεινόμενη λύση για τις εξισώσεις Navier–Stokes. Το όνομα ακούγεται ίσως άγνωστο έξω από τα μαθηματικά, το πρόβλημα όμως είναι από τα πιο διάσημα του κλάδου αφού ανήκει στα επτά Προβλήματα της Χιλιετίας του Clay Mathematics Institute. Η ανακοίνωση ανοίγει τώρα τη συνήθως αργή και ανελέητη φάση όπου άλλοι ερευνητές θα διαβάσουν το κείμενο, θα δοκιμάσουν να το αμφισβητήσουν και μόνο αν αντέξει θα περάσει στα εγχειρίδια ως λύση. [32]

Για να καταλάβουμε τι σημαίνει αυτή η ένταξη χρειάζεται μια μικρή επιστροφή στο 1900. Στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών στο Παρίσι ο David Hilbert, ένας από τους σημαντικότερους Γερμανούς μαθηματικούς της εποχής του, παρουσίασε τη διάσημη λίστα των 23 προβλημάτων που θεωρούσε κρίσιμα για την πορεία των μαθηματικών του νέου τότε αιώνα. Η επιρροή της λίστας υπήρξε τέτοια ώστε η ιδέα μιας μικρής ομάδας «μεγάλων προβλημάτων» συνδέθηκε έκτοτε με τον τρόπο που τα μαθηματικά αφηγούνται τα ανοιχτά τους μέτωπα. Έναν αιώνα αργότερα, πάλι στο Παρίσι, το Clay ανακοίνωσε τα επτά Προβλήματα της Χιλιετίας και έπαθλο ενός εκατομμυρίου δολαρίων για το καθένα, συνειδητά παραπέμποντας στη χειρονομία του Hilbert. Δεν ήταν συνέχεια της ίδιας λίστας, από τα επτά μόνο η Υπόθεση Riemann βρισκόταν και στα 23 προβλήματα του Hilbert, αλλά μια αντίστοιχη προσπάθεια να αποτυπωθούν μερικά από τα δυσκολότερα ανοιχτά προβλήματα μιας εποχής. Από τα επτά του Clay, μόνο η εικασία του Poincaré έχει μέχρι σήμερα αναγνωριστεί ως λυμένη. [12]

Για να καταλάβει κανείς τι ακριβώς ισχυρίζεται η απόδειξη, αρκεί στην αρχή μια στοιχειώδης εικόνα των εξισώσεων. Οι Navier–Stokes περιγράφουν την κίνηση ρευστών, όπως το νερό και ο αέρας, χωρίς να παρακολουθούν ξεχωριστά κάθε μόριό τους. Αντιμετωπίζουν το ρευστό ως συνεχές μέσο και περιγράφουν πώς μεταβάλλονται η ταχύτητα και η πίεσή του από σημείο σε σημείο και από στιγμή σε στιγμή. Στο Πρόβλημα της Χιλιετίας ενδιαφέρουν οι τρεις χωρικές διαστάσεις και ένα ασυμπίεστο ρευστό, του οποίου τα μικρά τμήματα διατηρούν τον όγκο τους καθώς κινούνται. Το ιξώδες, δηλαδή η εσωτερική τριβή, τείνει να εξομαλύνει τις μεγάλες διαφορές ταχύτητας. [18]

Οι ίδιες οι εξισώσεις είναι πολύ παλαιότερες από το βραβείο. Ο Γάλλος μηχανικός Claude-Louis Navier έγραψε στις αρχές της δεκαετίας του 1820 μια πρώτη μορφή των εξισώσεων για ιξώδη ρευστά, και ο Ιρλανδός μαθηματικός και φυσικός George Gabriel Stokes τις επαναθεμελίωσε το 1845, έπειτα από δύο δεκαετίες διαδοχικών προσπαθειών να δοθεί σωστή μαθηματική μορφή στην εσωτερική τριβή των ρευστών. [14] Τον επόμενο αιώνα το επίκεντρο μετακινήθηκε στο ερώτημα της ύπαρξης και της ομαλότητας των λύσεων. Το 1934 ο Γάλλος μαθηματικός Jean Leray απέδειξε ότι στις τρεις διαστάσεις υπάρχουν ασθενείς λύσεις για όλους τους χρόνους, μια πιο ελαστική έννοια λύσης αρκετή ώστε οι εξισώσεις να έχουν μαθηματικό νόημα ακόμη και όταν δεν γνωρίζουμε αν η ροή παραμένει ομαλή ή αν η λύση είναι μοναδική. Ο Γερμανός μαθηματικός Eberhard Hopf επέκτεινε αυτή τη θεωρία το 1951. Στα τέλη της δεκαετίας του 1950 η Σοβιετική μαθηματικός Olga Ladyzhenskaya απέδειξε ότι, στη δισδιάστατη περίπτωση και υπό τις συνήθεις συνοριακές συνθήκες, οι λύσεις υπάρχουν για όλους τους χρόνους και είναι μοναδικές· η αντίθεση με τις τρεις διαστάσεις όπου το αντίστοιχο ερώτημα παραμένει ανοιχτό έγινε έτσι ακόμη πιο καθαρή. [19] Το 1982 οι μαθηματικοί Luis Caffarelli, Robert Kohn και Louis Nirenberg απέδειξαν ότι, ακόμη και αν εμφανιστούν ιδιομορφίες σε κατάλληλες ασθενείς λύσεις το σύνολο όπου μπορούν να βρίσκονται είναι εξαιρετικά μικρό. [17] Δύο αιώνες δουλειάς έχουν έτσι χτίσει μια τεράστια θεωρία γύρω από τις εξισώσεις αφήνοντας όμως ανοιχτό το συγκεκριμένο τρισδιάστατο ερώτημα που έφτασε στη λίστα του Clay.

Οι υπολογιστές μπορούν να προσεγγίζουν αριθμητικά πολλές συγκεκριμένες ροές. Το ανοιχτό μαθηματικό ερώτημα είναι γενικότερο και διατυπώνεται ως εξής, μπορεί μια κίνηση που ξεκινά απολύτως ομαλά να εξελιχθεί, μέσα σε πεπερασμένο χρόνο, σε κατάσταση όπου η ομαλή περιγραφή καταρρέει; Ένα τέτοιο σημείο κατάρρευσης λέγεται ιδιομορφία. Στην κατασκευή που ανακοίνωσε η OpenAI η ροή ξεκινά μάλιστα από ακινησία και δέχεται μια ομαλή εξωτερική δύναμη. Η ταχύτητα, σύμφωνα με την προτεινόμενη απόδειξη, γίνεται απεριόριστη σε μια ολοένα μικρότερη περιοχή ενώ η συνολική κινητική ενέργεια παραμένει πεπερασμένη. [30] Δεν υπάρχει αντίφαση σε αυτό αφού ένα μέγεθος μπορεί να συγκεντρώνεται όλο και περισσότερο τοπικά χωρίς το συνολικό του άθροισμα στον χώρο να γίνεται άπειρο. Για ένα πραγματικό ρευστό η φράση «άπειρη ταχύτητα» δεν είναι φυσική πρόβλεψη αλλά ένδειξη ότι το μαθηματικό μοντέλο έφτασε στο όριο της ομαλής του περιγραφής.

Η εξωτερική δύναμη χρειάζεται μία ακόμη διευκρίνιση. Η επίσημη διατύπωση του Clay δίνει περισσότερες από μια οδούς για να λυθεί το πρόβλημα, σε δύο εκδοχές ζητείται να αποδειχθεί ότι η ομαλότητα διατηρείται όταν δεν υπάρχει εξωτερική δύναμη ενώ σε δύο άλλες, τις εκδοχές C/D, επιτρέπεται μια τέτοια δύναμη και ζητείται αντιπαράδειγμα όπου η ομαλότητα χάνεται. Η πρόταση της OpenAI ακολουθεί αυτή τη δεύτερη οδό. Εφόσον επιβεβαιωθεί, καλύπτει το πρόβλημα όπως το έχει διατυπώσει το Clay, χωρίς να συνεπάγεται ότι η ίδια κατάρρευση συμβαίνει και στο σύστημα χωρίς εξωτερική δύναμη. [18] [30] Στις 9 Σεπτεμβρίου το Clay εξακολουθούσε να κατατάσσει τις Navier–Stokes στα ανεπίλυτα προβλήματα. Η διαδικασία του βραβείου απαιτεί δημοσίευση σε αποδεκτό επιστημονικό μέσο, τουλάχιστον δύο χρόνια δημόσιας εξέτασης και γενική αποδοχή από τη μαθηματική κοινότητα. [10] [11] Αυτοί οι κανόνες ρυθμίζουν την αναγνώριση μιας λύσης αλλά η ουσία θα κριθεί από το αν άλλοι ειδικοί μπορούν να ελέγξουν κάθε βήμα, να βρουν τυχόν κενά και να επιβεβαιώσουν ότι οι υποθέσεις και το συμπέρασμα είναι ακριβώς εκείνα του προβλήματος.

Η OpenAI έδωσε στη δημοσιότητα και μια δεύτερη ‘μορφή’ της απόδειξης γραμμένη σε Lean, έναν βοηθό αποδείξεων. Σε τέτοια προγράμματα η μαθηματική πρόταση και τα βήματα του επιχειρήματος μεταφράζονται σε αυστηρή τυπική γλώσσα ώστε ο υπολογιστής να ελέγχει αν κάθε βήμα επιτρέπεται από τους δηλωμένους λογικούς κανόνες. Αυτός ο έλεγχος είναι πολύ ισχυρός αλλά αφορά την πρόταση όπως ακριβώς διατυπώθηκε στο σύστημα. Το αν η τυπική διατύπωση εκφράζει σωστά το αρχικό μαθηματικό ερώτημα και το τι μας διδάσκει η στρατηγική της απόδειξης παραμένουν διαφορετικές εργασίες στις οποίες θα επιστρέψω αργότερα. Χρειάζεται επίσης μια σωστή εικόνα για το τι έκανε το σύστημα. Δεν πρόκειται για ένα συνηθισμένο παράθυρο συνομιλίας στο οποίο κάποιος έγραψε μια δύσκολη ερώτηση και πήρε λίγα λεπτά αργότερα την απάντηση. Τα μεγάλα γλωσσικά μοντέλα είναι συστήματα που εκπαιδεύονται πάνω σε πολύ μεγάλες συλλογές δεδομένων ώστε να παράγουν και να επεξεργάζονται γλώσσα κι εδώ εντάχθηκαν σε μια πολύ μεγαλύτερη ερευνητική διαδικασία. Σύμφωνα με την OpenAI περίπου δέκα χιλιάδες συντονιζόμενοι «πράκτορες» – ξεχωριστές δηλαδή εκτελέσεις του μοντέλου με διαφορετικούς επιμέρους στόχους και εργαλεία – αντάλλασσαν πληροφορίες ενώ άνθρωποι επέλεγαν κατευθύνσεις και ανακατένειμαν πόρους. Η εταιρεία αναφέρει 88 ώρες μέχρι την απόδειξη και άλλες 17 για την τυποποίηση και την επαλήθευση. [32] Οι αριθμοί αυτοί λένε λίγα για το συνολικό κόστος, αρκούν όμως για να δείξουν τι είδους αντικείμενο έχουμε μπροστά μας, μια ερευνητική υποδομή που συνδυάζει μοντέλα, λογισμικό, υπολογιστική ισχύ και ανθρώπινη οργάνωση.

Από εδώ αρχίζει για μένα το πιο ενδιαφέρον μέρος της ιστορίας. Στα μαθηματικά είχαμε συνηθίσει να βλέπουμε την ανακάλυψη ενός επιχειρήματος, τον αυστηρό έλεγχό του και την προσωπική κατανόηση ως πολύ στενά δεμένες εργασίες. Η ΤΝ δεν χρειάζεται να τις αυτοματοποιήσει όλες με τον ίδιο τρόπο για να αλλάξει τη μαθηματική ζωή. Ο Terence Tao, μαθηματικός και κάτοχος του Μεταλλίου Fields – μιας από τις σημαντικότερες διεθνείς διακρίσεις στα μαθηματικά – έχει προτείνει ακριβώς γι’ αυτή τη συζήτηση μια χρήσιμη τριμερή διάκριση, παραγωγή (generation), επαλήθευση (verification) και αφομοίωση (digestion). [38] [37] Παραγωγή είναι η εύρεση μιας απόδειξης, επαλήθευση ο έλεγχος ότι τα βήματά της στέκουν και αφομοίωση η πολύ πιο αργή διαδικασία με την οποία καταλαβαίνουμε γιατί δουλεύει, ποιες υποθέσεις είναι ουσιώδεις, με τι συνδέεται και ποιες νέες ερωτήσεις γεννά.

Αυτές οι τρεις λειτουργίες μπλέκονται συνεχώς στην πράξη. Ένας ερευνητής μπορεί να έχει ελέγξει μια μακρά απόδειξη και να μην μπορεί ακόμη να την παρουσιάσει καθαρά σε ένα σεμινάριο· μπορεί να βλέπει τη βασική ιδέα και να του διαφεύγει ένα τεχνικό κενό ή να χρησιμοποιεί με ασφάλεια ένα θεώρημα χωρίς να γνωρίζει όλες τις λεπτομέρειες της απόδειξής του. Για έναν φοιτητή η κατανόηση μπορεί να αρχίσει τη στιγμή που ένα παράδειγμα ‘κουμπώνει’. Για έναν ερευνητή δοκιμάζεται συχνά όταν αλλάζει μια υπόθεση και πρέπει να προβλέψει τι θα πάψει να ισχύει. Αυτές οι διαφορές έχουν σημασία επειδή η ταχύτητα με την οποία αυτοματοποιείται η παραγωγή μιας απόδειξης δεν μας λέει από μόνη της τι συμβαίνει με τις υπόλοιπες ικανότητες.

Ο Tao έχει μιλήσει και για μια πιθανή μετάβαση από τη σπανιότητα στην «αφθονία αποδείξεων». [37] Η φράση περιγράφει ένα ενδεχόμενο κι όχι τη σημερινή κατάσταση αφού τα δύσκολα προβλήματα δεν λύνονται (ακόμη) μαζικά και φθηνά κατά παραγγελία. Αν όμως η παραγωγή νέων και απαιτητικών αποδείξεων επιταχυνθεί πολύ περισσότερο από την ικανότητά μας να τις διαβάζουμε, το σημείο συμφόρησης της έρευνας θα μετακινηθεί. Θα έχουμε περισσότερα σωστά αποτελέσματα από όσα μπορούμε να αφομοιώσουμε, και η επιλογή ποιο αξίζει να διαβαστεί, ποιο αλλάζει μια θεωρία, ποιο ανοίγει πραγματικά μια νέα μέθοδο θα αποκτήσει μεγαλύτερο βάρος. Μια βιβλιοθήκη μπορεί πράγματι να μεγαλώνει γρηγορότερα από την κοινότητα που έχει χρόνο να την κατοικήσει. Οι μαθηματικοί γνωρίζουν ήδη ότι η ορθότητα δεν αρκεί για να κάνει ένα θεώρημα σημαντικό. Υπάρχουν αποτελέσματα που αλλάζουν τον τρόπο με τον οποίο βλέπουμε μια ολόκληρη περιοχή, άλλα που εισάγουν μια γόνιμη μέθοδο, άλλα που ενώνουν δύο θεωρίες και πολλά που αποτελούν χρήσιμες αλλά τοπικές βελτιώσεις. Σε αυτή την κρίση υπάρχει και αισθητική, μιλάμε για οικονομία μιας ιδέας, για μια απόδειξη που εξηγεί αντί να πιστοποιεί απλώς, για μια έννοια που αξίζει επειδή οργανώνει πολλά φαινόμενα μαζί. Αν η παραγωγή γίνει φθηνότερη, το βάρος της δουλειάς μπορεί να μετακινηθεί ακριβώς σε αυτές τις κρίσεις.

Η ποικιλία των ιδεών είναι ξεχωριστό ζήτημα. Ο Anil Doshi, ερευνητής της στρατηγικής που μελετά την παραγωγική ΤΝ και την εργασία, και ο Oliver Hauser, καθηγητής δημόσιας πολιτικής με ερευνητικό έργο στη συμπεριφορική επιστήμη, μελέτησαν πώς η βοήθεια από ΤΝ επηρεάζει τη δημιουργική γραφή. Σε πείραμά τους οι συμμετέχοντες που έπαιρναν ιδέες από ΤΝ παρήγαν ιστορίες που αξιολογήθηκαν ως πιο δημιουργικές αλλά οι ιστορίες έμοιαζαν περισσότερο μεταξύ τους. [16] Το πείραμα αφορά σύντομα αφηγήματα κι όχι μαθηματική έρευνα οπότε δεν μπορεί να μεταφερθεί αυτούσιο. Θέτει όμως ένα ερώτημα που αξίζει να κρατήσουμε, όταν πολλοί άνθρωποι αντλούν προτάσεις από τα ίδια συστήματα πώς προστατεύεται η ποικιλομορφία των ερωτημάτων και των διαδρομών; Θα ήταν βιαστικό να σώσουμε την ανθρώπινη θέση ορίζοντας την «κατανόηση», την επιλογή ή τη δημιουργία εννοιών ως ικανότητες που μια μηχανή αποκλείεται εξ ορισμού να αποκτήσει. Ήδη τα σημερινά συστήματα μπορούν να βοηθούν ουσιαστικά στην εξήγηση και στη σύγκριση μεθόδων. Η πολιτική δυσκολία δεν εξαρτάται από μια τέτοια μεταφυσική απαγόρευση. Ακόμη και η καλύτερη εξήγηση χρειάζεται χρόνο, παιδεία και ενδιαφέρον για να μετατραπεί σε γνώση ενός ανθρώπου ή μιας κοινότητας.

Στην ακαδημαϊκή εργασία η ένταση γίνεται αμέσως πιο συγκεκριμένη. Ο William Thurston, ένας από τους σημαντικότερους γεωμέτρες του 20ού αιώνα και επίσης κάτοχος του Μεταλλίου Fields, έγραφε ήδη το 1994 ότι η μαθηματική πρόοδος δεν μετριέται μόνο με το πόσα νέα θεωρήματα αποδεικνύονται. Η κατανόηση, η εξήγηση και η κυκλοφορία των ιδεών μέσα σε μια κοινότητα αποτελούν μέρος της ίδιας της προόδου. [39] Η εικόνα του μοναχικού δημιουργού που επιλέγει, αποδεικνύει, ελέγχει και διδάσκει τα πάντα μόνος του δεν περιέγραψε ποτέ καλά τα μαθηματικά. Σεμινάρια, συνεργάτες, δάσκαλοι, αναγνώστες, βιβλιοθήκες και άνθρωποι που συντηρούν εργαλεία συμμετέχουν στο να γίνει ένα αποτέλεσμα κοινή γνώση. Το σύστημα ακαδημαϊκών κινήτρων, ωστόσο, ανταμείβει (μέχρι τώρα) πολύ περισσότερο την πρώτη δημοσίευση ενός νέου αποτελέσματος από την καθαρή έκθεση ενός ήδη γνωστού θεωρήματος ή τη συντήρηση μιας βιβλιοθήκης αποδείξεων. Αν η ΤΝ επιταχύνει κυρίως το πρώτο, η ανισορροπία μπορεί να μεγαλώσει αφού η ενοποίηση διαφορετικών ορολογιών, η μετατροπή μιας δυσπρόσιτης τεχνικής σε μέθοδο που διδάσκεται και η χαρτογράφηση μιας υπερχειλισμένης βιβλιογραφίας θα είναι όλο και πιο αναγκαίες ενώ θα εξακολουθούν να θεωρούνται δευτερεύουσες εργασίες. Το πρόβλημα προϋπήρχε της ΤΝ· η αυτοματοποίηση μπορεί απλώς να αυξήσει την πίεση στο μέρος της έρευνας που μετριέται ευκολότερα.

Τον Μάιο του 2026 ο Timothy Gowers, Βρετανός μαθηματικός και κάτοχος του Μεταλλίου Fields, περιέγραψε μια εμπειρία που έκανε αυτό το ζήτημα πολύ συγκεκριμένο. Κατά την κρίση του, το ChatGPT 5.5 Pro παρήγαγε μαθηματικά ερευνητικού επιπέδου αξιοποιώντας ουσιαστικά προηγούμενη εργασία του νεότερου μαθηματικού Isaac Rajagopal. [21] Μία περίπτωση δεν αρκεί για να μετρήσει την επίδοση της ΤΝ σε ολόκληρα τα μαθηματικά, αρκεί όμως για να δούμε το πρόβλημα της μαθητείας, τι συμβαίνει όταν ένα κομμάτι έρευνας που μέχρι χθες θα μπορούσε να στηρίξει μέρος μιας διατριβής παράγεται ταχύτερα από όσο χρειάζεται ο νέος ερευνητής για να μάθει τη μέθοδο που το γέννησε; Δεν ανησυχώ ιδιαίτερα ότι τα μαθηματικά θα «ξεμείνουν από προβλήματα». Κάθε νέα θεωρία γεννά καινούργιες ερωτήσεις ενώ καλύτερα εργαλεία μπορούν να επιτρέψουν σε έναν νέο ερευνητή να φτάσει πολύ νωρίτερα σε περιοχές που παλιότερα απαιτούσαν χρόνια προετοιμασίας. Το ευαίσθητο σημείο βρίσκεται στη διαδρομή με την οποία αποκτάται η ερευνητική κρίση. Στην έρευνα μαθαίνεις επειδή δοκιμάζεις κάτι που κανείς δεν ξέρει ακόμη, αποτυγχάνεις, επιμένεις σε λάθος κατεύθυνση, αναγνωρίζεις τελικά ένα αδιέξοδο και αρχίζεις να ξεχωρίζεις μια γόνιμη ιδέα από μια απλώς έξυπνη ιδέα. Αν η σχετικά προσιτή ζώνη πρωτοτυπίας στενέψει, τα πανεπιστήμια θα πρέπει να ξανασκεφτούν πώς οργανώνεται η μαθητεία και τι είδους εργασία αφήνουν στον νέο ερευνητή.

Μια παλιά παρατήρηση από τη μελέτη της αυτοματοποίησης ταιριάζει καλά εδώ. Η ψυχολόγος Lisanne Bainbridge που μελετούσε την αλληλεπίδραση ανθρώπων και αυτοματοποιημένων συστημάτων είχε παρατηρήσει ήδη το 1983 ότι ο χειριστής καλείται να επέμβει ακριβώς όταν η αυτόματη λειτουργία αποτυγχάνει ενώ η ίδια η αυτοματοποίηση τού έχει αφαιρέσει πολλές καθημερινές ευκαιρίες εξάσκησης. [6] Η μαθηματική έρευνα δεν είναι βιομηχανικός πίνακας ελέγχου μα η αναλογία αξίζει μόνο στο συγκεκριμένο σημείο, αν κρατήσουμε για τον άνθρωπο την ευθύνη της κρίσης στις δύσκολες περιπτώσεις, πρέπει να σκεφτούμε πώς θα αποκτά αυτή την κρίση όταν συμμετέχει λιγότερο στις συνηθισμένες περιπτώσεις που τη διαμορφώνουν. Είναι υπόθεση προς διερεύνηση, όχι περιγραφή μιας εξέλιξης που έχει ήδη συντελεστεί.

Τα λίγα εμπειρικά δεδομένα που έχουμε για τη μάθηση δεν επιτρέπουν ακόμη γενικεύσεις αλλά βοηθούν να ξεχωρίσουμε διαφορετικές χρήσεις της ΤΝ. Η Hamsa Bastani, καθηγήτρια που μελετά αλγορίθμους μηχανικής μάθησης – μεθόδους δηλαδή που μαθαίνουν πρότυπα από δεδομένα – και τη χρήση τους σε πραγματικές αποφάσεις, και οι συνεργάτες της βρήκαν σε μαθητές δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ότι βοήθεια από ΤΝ χωρίς παιδαγωγικές δικλίδες μπορούσε να μειώσει την επίδοση όταν η βοήθεια αποσυρόταν. Με πιο προσεκτικά σχεδιασμένη υποστήριξη το πρόβλημα περιοριζόταν. Σε διαφορετικό πείραμα ο Greg Kestin, φυσικός και ερευνητής της επιστημονικής εκπαίδευσης στο Harvard, και οι συνεργάτες του βρήκαν όφελος από ειδικά σχεδιασμένο σύστημα διδασκαλίας με ΤΝ σε μάθημα φυσικής. [7] [24] Καμία από τις δύο μελέτες δεν αφορά διδακτορική έρευνα αλλά μαζί δείχνουν γιατί η ποιότητα του σχεδιασμού έχει σημασία και γιατί η άμεση πρόσβαση σε μια καλή απάντηση δεν ταυτίζεται με τη μάθηση που μένει όταν η βοήθεια φύγει. Το 2025, μια άλλη έρευνα ζήτησε από 319 εργαζομένους που χρησιμοποιούσαν παραγωγική ΤΝ να περιγράψουν τη δική τους προσπάθεια κριτικής σκέψης. Η μεγαλύτερη εμπιστοσύνη στο εργαλείο συνδεόταν με λιγότερη αυτοαναφερόμενη προσπάθεια κριτικής σκέψης. [26] Οι συμμετέχοντες δεν υποβλήθηκαν σε δοκιμασία που να αποδεικνύει απώλεια ικανότητας και οι ίδιοι οι συγγραφείς επισημαίνουν ότι η μικρότερη προσπάθεια εκτέλεσης μιας εργασίας μπορεί εύκολα να συγχέεται με μικρότερη προσπάθεια σκέψης. Πρόκειται λοιπόν για ένδειξη που ζητά καλύτερα πειράματα, όχι για απόδειξη «γνωστικής παρακμής».

Πιο ενδιαφέρον γίνεται το ζήτημα όταν πάψουμε να το βλέπουμε μόνο ως πρόβλημα του μεμονωμένου χρήστη. Σε πρόσφατη εργασία του, ο Ricard Solé, φυσικός που μελετά σύνθετα συστήματα, μαζί με μια διεπιστημονική ομάδα συνεργατών του, εξετάζει θεωρητικά τι μπορεί να συμβεί όταν η χρήση της ΤΝ εξαπλώνεται μέσα σε μια κοινότητα και επηρεάζει τις ίδιες τις συνθήκες μέσα στις οποίες οι άνθρωποι μαθαίνουν και διατηρούν τις ικανότητές τους. Στο μοντέλο τους, υπό ορισμένες παραδοχές, μια κοινωνία μπορεί να περάσει σταδιακά από περιορισμένη χρήση σε μια κατάσταση επίμονης εξάρτησης από την οποία δεν επιστρέφει απλώς μειώνοντας ξανά τη χρήση της τεχνολογίας. [36] Αυτό δεν είναι εμπειρική απόδειξη γνωστικής έκπτωσης, αφού οι αριθμητικές τιμές «γνωστικής ικανότητας» που χρησιμοποιεί το μοντέλο είναι υποθέσεις και όχι μετρήσεις ανθρώπων, αλλά αναδεικνύει ένα πρόβλημα που η ατομική ψυχολογία από μόνη της δεν μπορεί να συλλάβει. Αν ορισμένες δεξιότητες διατηρούνται επειδή υπάρχουν γύρω μας άνθρωποι, θεσμοί και καθημερινές πρακτικές που τις ασκούν, τότε η απώλειά τους μπορεί να είναι συλλογική και σωρευτική, όσο λιγότερο χρησιμοποιούνται τόσο λιγότερες γίνονται και οι ευκαιρίες να αποκτηθούν ξανά.

Μια σοβαρή εκπαίδευση με ΤΝ, επομένως, χρειάζεται να κοιτάζει και τη διαδρομή προς το αποτέλεσμα. Έχει αξία να ζητά από τον μαθητευόμενο να εξηγήσει γιατί διάλεξε μια διαδρομή, ποια αποτυχημένη ιδέα εγκατέλειψε, τι θα άλλαζε αν πειράζαμε μια υπόθεση και αν μπορεί να υπερασπιστεί προφορικά το επιχείρημά του. Τέτοια διδασκαλία κοστίζει χρόνο και ανθρώπινη προσοχή. Σε έναν κόσμο με πολύ περισσότερες σωστές αποδείξεις, ακριβώς αυτά τα ακριβά στοιχεία μπορεί να είναι αναγκαία ώστε να μη γίνει η γνώση μια βιβλιοθήκη που όλο και λιγότεροι μπορούν να διασχίσουν χωρίς οδηγό.

Στον ίδιο τον έλεγχο των αποδείξεων η μηχανοποίηση έχει ήδη αποδείξει την αξία της. Το Lean, που ανέφερα νωρίτερα, είναι ένας βοηθός αποδείξεων όπου η πρόταση και η απόδειξή της γράφονται σε τυπική γλώσσα και ένας μικρός πυρήνας του συστήματος ελέγχει αν κάθε βήμα επιτρέπεται από τους λογικούς κανόνες. [25] Όταν μια απόδειξη «περνά» αυτόν τον έλεγχο, έχουμε μια ισχυρή εγγύηση για το συγκεκριμένο τυπικό επιχείρημα. Εξακολουθούμε όμως να πρέπει να εξετάσουμε αν ‘μεταφράσαμε’ σωστά το αρχικό μαθηματικό πρόβλημα, αν οι υποθέσεις δεν είναι ισχυρότερες από όσο νομίζουμε και, έπειτα, τι ιδέα κρύβεται πίσω από τη σειρά των βημάτων. Η τυπική επαλήθευση είναι πολύτιμη ακριβώς επειδή ξέρουμε με σχετική ακρίβεια τι εγγυάται. Πριν από τη σημερινή έκρηξη των εργαλείων αυτοματοποίησης, ο Thomas Hales, μαθηματικός με ερευνητικό έργο στη γεωμετρία και στην τυπική απόδειξη, έδειξε πόσο επίπονο μπορούσε να είναι αυτό το εγχείρημα. Στο πρόγραμμα Flyspeck ο Hales και οι συνεργάτες του μετέτρεψαν σε μηχανικά ελέγξιμη μορφή την απόδειξη της εικασίας του Kepler για την πυκνότερη διάταξη ίσων σφαιρών. Η τυποποίηση ολοκληρώθηκε το 2014 και δημοσιεύτηκε το 2017, ύστερα από χρόνια συλλογικής εργασίας. [23]

Η τυπική απόδειξη έχει και μια ενδιαφέρουσα κοινωνική ιστορία. Το 1979 οι ερευνητές πληροφορικής Richard DeMillo, Richard Lipton και Alan Perlis υποστήριξαν ότι η μαθηματική βεβαιότητα στηρίζεται σε κοινωνικές διαδικασίες ελέγχου και ότι η απουσία ανάλογης κοινότητας γύρω από την επαλήθευση προγραμμάτων θα περιόριζε δραστικά την επιτυχία της. [15] Ο Donald MacKenzie, κοινωνιολόγος της επιστήμης και της τεχνολογίας, ανασυνθέτει αυτή τη διαμάχη στο Mechanizing Proof και φτάνει σε πιο σύνθετο συμπέρασμα, σε πεδία όπου ο κοινωνικός έλεγχος είναι αδύναμος ο μηχανικός έλεγχος μπορεί να είναι ακόμη πιο πολύτιμος. [27, σ. 328] Η εμπιστοσύνη δεν βρίσκεται αποκλειστικά στην κοινότητα ούτε στη μηχανή· χτίζεται μέσα σε μια πρακτική όπου άνθρωποι, εργαλεία και διαδικασίες ελέγχουν διαφορετικά πράγματα. [27, σ. 330–334]

Ο Jeremy Avigad, καθηγητής φιλοσοφίας και μαθηματικών που εργάζεται στη λογική, στις τυπικές μεθόδους και στην ΤΝ για τα μαθηματικά, δίνει έμφαση στην απόδειξη ως δημόσιο αντικείμενο που μπορεί να ελεγχθεί ανεξάρτητα από το κύρος του παραγωγού της. [5] Η OpenAI έχει δημοσιοποιήσει το αποθετήριο Lean της συγκεκριμένης εργασίας. [31] Αυτό έχει ουσιαστική σημασία γιατί ακόμη κι αν η υποδομή που παρήγαγε την απόδειξη είναι κλειστή, το τελικό τυπικό αντικείμενο μπορεί κατ’ αρχήν να ελεγχθεί από τρίτους. Η δυνατότητα ελέγχου του αποτελέσματος, ωστόσο δεν μας δίνει αυτομάτως πρόσβαση στην υποδομή που μπορεί να επιλέξει και να κυνηγήσει το επόμενο πρόβλημα.

Η πολιτική διάσταση αποκτά υλικό περιεχόμενο μόλις κοιτάξουμε την υποδομή. Οι υπολογιστικοί πόροι – το compute στη γλώσσα της βιομηχανίας – σημαίνουν επεξεργαστές, κέντρα δεδομένων, ενέργεια, λογισμικό, εξειδικευμένο προσωπικό και χρόνο λειτουργίας. Αν τέτοια υποδομή γίνει αναγκαία για ορισμένες μορφές μαθηματικής έρευνας αιχμής, θα επηρεάζει και το ποια ερωτήματα θεωρούνται ρεαλιστικό να τεθούν. Μια κοινότητα μπορεί να έχει γενναιόδωρη πρόσβαση σε μια υπηρεσία χωρίς να έχει λόγο στις προτεραιότητες με τις οποίες αυτή αναπτύσσεται ή κατανέμει τους πόρους της. Ακριβώς γύρω από αυτό οργανώνεται η Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics, μια δημόσια παρέμβαση που υπέγραψαν το 2026 μαθηματικοί και ερευνητές ζητώντας συζήτηση για την αυτονομία της έρευνας, την εκπαίδευση και τον έλεγχο των υποδομών. [3] Σε συναφές κείμενο, μια ομάδα στην οποία συμμετέχουν ο Akshay Venkatesh, μαθηματικός και κάτοχος του Μεταλλίου Fields, και ο Rodrigo Ochigame, ιστορικός και ανθρωπολόγος της επιστήμης και της τεχνολογίας που μελετά την αυτοματοποίηση των μαθηματικών, υποστηρίζει ότι η μαθηματική κοινότητα πρέπει να συμμετέχει ενεργά στη διαμόρφωση αυτής της μετάβασης. [13] Πρόκειται για πολιτικές και θεσμικές προτάσεις, όχι για ουδέτερες τεχνικές διαπιστώσεις.

Ο Gowers δεν υπέγραψε τη Διακήρυξη και εξήγησε δημόσια τις επιφυλάξεις του, μεταξύ άλλων για όσα υπονοεί γύρω από την κατανόηση και για το πώς μπορεί να αποδίδεται στο μέλλον η επιστημονική αναγνώριση. [22] Η διαφωνία είναι χρήσιμη επειδή χωρίζει δύο ερωτήματα που συχνά συγχέονται. Κάποιος μπορεί να θεωρεί πιθανό ότι οι μηχανές θα αποκτήσουν πολύ βαθύτερες ικανότητες κατανόησης και ταυτόχρονα να ανησυχεί για το ποιος κατέχει την υποδομή, ποιος επιλέγει τις προτεραιότητες και ποιος αναγνωρίζεται για τη συλλογική εργασία που βρίσκεται πίσω από ένα αποτέλεσμα.

Ο Ochigame έχει μελετήσει ακριβώς αυτή την τελευταία πλευρά. Όταν λέμε ότι «βρέθηκε μια απόδειξη», η φράση κρύβει εύκολα μεγάλο μέρος της εργασίας που την έκανε δυνατή, τις βιβλιοθήκες που έπρεπε να χτιστούν, τις σιωπηρές παραδοχές που έπρεπε να γίνουν ρητές, τα εργαλεία που κάποιος έγραψε και συντηρεί. [29] Με την αυτοματοποίηση η αλυσίδα γίνεται ακόμη πιο σύνθετη. Άλλος μπορεί να διατυπώνει το πρόβλημα, άλλος να βρίσκει μια κρίσιμη ιδέα, άλλος να γράφει το λογισμικό και άλλος να διαθέτει την υπολογιστική υποδομή. Οι εργασίες αυτές έχουν διαφορετικό βάρος και διαφορετικό χαρακτήρα. Μια ιστορία της ανακάλυψης που κρατά μόνο ένα από αυτά, πάντως, παραμορφώνει το πώς παράχθηκε το αποτέλεσμα.

Η ανακοίνωση για τις Navier–Stokes συνοδεύτηκε ήδη από μια διαφωνία που κάνει αυτή την εξάρτηση πολύ συγκεκριμένη. Οι μαθηματικοί Tristan Buckmaster και Levent Alpöge δούλευαν επί μήνες πάνω σε μια γραμμή που ξεκινούσε από τις εργασίες των Diego Córdoba και Luis Martínez-Zoroa για την εμφάνιση ιδιομορφιών με εξωτερική δύναμη. Χρησιμοποιούσαν συστηματικά γλωσσικά μοντέλα, μεταξύ άλλων το Codex της OpenAI, το περιβάλλον στο οποίο δούλευαν με το μοντέλο πάνω στα αρχεία και τα προσχέδιά τους, και ο Buckmaster αναφέρει ότι στις συνεδρίες τους είχαν περάσει όλα τα προσχέδια του έργου. Στις 15 Αυγούστου είχαν ήδη αποτελέσματα με ομαλή εξωτερική δύναμη για τις εξισώσεις Boussinesq, ένα συγγενές σύστημα ρευστομηχανικής όπου η ροή συνδέεται και με μεταβολές θερμοκρασίας ή πυκνότητας, και για τις εξισώσεις Euler, που περιγράφουν την ιδανική ροή χωρίς ιξώδες. Στις 22 Αυγούστου είχε ολοκληρωθεί και η τυπική επαλήθευση του αποτελέσματος για τις εξισώσεις Euler. [8] Η OpenAI δηλώνει ότι άρχισε τη δική της προσπάθεια την 1η Σεπτεμβρίου, αφού άκουσε φήμες ότι είχαν λυθεί δύο Προβλήματα της Χιλιετίας, φήμες που αργότερα συνέδεσε με τους Buckmaster και Alpöge, και ότι μέσα στις επόμενες ημέρες οι πράκτορές της έφτασαν σε αντιπαράδειγμα για τις Navier–Stokes στην εκδοχή του προβλήματος που επιτρέπει ομαλή εξωτερική δύναμη. [32] Για τον Buckmaster η συγκεκριμένη επιλογή ήταν ανησυχητική ακριβώς επειδή αυτή ήταν η κατεύθυνση που είχαν ανοίξει οι Córdoba και Martínez-Zoroa και που ο ίδιος με τον Alpöge είχαν επιλέξει να αναπτύξουν. Η ίδια η εργασία της OpenAI αναγνωρίζει ρητά τις προηγούμενες εργασίες τους ως μέρος της στρατηγικής ιστορίας του προβλήματος. [30]

Το ζήτημα των δεδομένων είναι πιο δύσκολο ακριβώς επειδή η συνεργασία των δύο μαθηματικών περνούσε και από το Codex. Ο Buckmaster λέει ότι ρώτησε αν το εσωτερικό μοντέλο της OpenAI είχε εκπαιδευτεί πάνω στις συνεδρίες τους ή είχε πρόσβαση σε αυτές· κατά την καταγραφή του, έλαβε διαβεβαίωση ότι το μοντέλο δεν αναζητούσε δεδομένα χρηστών, όχι όμως απάντηση στο ερώτημα της εκπαίδευσης. [8] Η OpenAI δηλώνει σήμερα ότι κανένας από τους ερευνητές ή τους πράκτορές της δεν είδε τη μη δημοσιευμένη εργασία τους και ότι δεν χρησιμοποιήθηκαν συγκεκριμένα δεδομένα χρηστών για την επίλυση του προβλήματος. Δεν αποκλείει όμως ότι αποταυτοποιημένα δεδομένα από τη χρήση των προϊόντων της μπορεί να είχαν συμβάλει στη βελτίωση των μοντέλων. [32] Δεν γνωρίζουμε αν τα προσχέδια των Buckmaster και Alpöge χρησιμοποιήθηκαν για την παραγωγή της απόδειξης, ούτε τι ακριβώς συνέβη στα συστήματα εκπαίδευσης. Το πρόβλημα που μένει ανοιχτό ανήκει ήδη στη μαθηματική πρακτική, τι σημαίνει να αναπτύσσεις μη δημοσιευμένη έρευνα μέσα σε μια υποδομή της οποίας ο ιδιοκτήτης κατασκευάζει ταυτόχρονα μοντέλα ικανά να ανταγωνιστούν τον χρήστη στην ίδια ερευνητική περιοχή.

Στη διαφωνία προστέθηκε και το ζήτημα της αναγνώρισης. Ο Buckmaster περιγράφει δύο προτάσεις για τον συντονισμό των δημοσιεύσεων, στη μία από τις οποίες θα παρουσίαζε ο ίδιος το αποτέλεσμα της OpenAI για τις Navier–Stokes, και υποστηρίζει ότι ο Sébastien Bubeck ήθελε να μη συμμετέχει ο Alpöge επειδή εργαζόταν στην Anthropic. Αναφέρει επίσης ότι, όταν είπε πως θα δημοσιοποιούσε όσα είχαν συμβεί, ο Bubeck τον ρώτησε, κατά τη δική του καταγραφή, «Γιατί να καταστρέψεις την καριέρα σου;» και στη συνέχεια είπε «Αν δεν θέλεις να είμαι ευγενικός, δεν χρειάζεται να είμαι». [8] Η OpenAI παρουσιάζει διαφορετικά την επικοινωνία, ως προσπάθεια συντονισμένης δημοσίευσης και αναγνώρισης της προτεραιότητας των Buckmaster και Alpöge στις εξισώσεις Euler με εξωτερική δύναμη. [32] Τα δημόσια στοιχεία δεν αρκούν για να λυθεί αυτή η σύγκρουση και ο ίδιος ο Buckmaster γράφει ρητά ότι δεν γνωρίζει αν χρησιμοποιήθηκαν τα δεδομένα τους και δεν κατηγορεί κανέναν για κάτι συγκεκριμένο. [8] Η ίδια η σύγκρουση δείχνει πάντως τι αλλάζει όταν η ίδια εταιρεία παρέχει το ερευνητικό εργαλείο, εκπαιδεύει το μοντέλο και διαθέτει την υποδομή που μπορεί να μετατρέψει μια υπόδειξη σε τεράστια παράλληλη αναζήτηση, τα παλιά ερωτήματα της προτεραιότητας και της επιστημονικής αναγνώρισης αποκτούν τότε μια καινούργια υλική διάσταση.

Οι επιμέρους διαφωνίες πατούν πάνω σε μια ευρύτερη ασυμμετρία. Η μαθηματική γνώση πάνω στην οποία στηρίζονται άμεσα ή έμμεσα τα σημερινά συστήματα έχει παραχθεί μέσα σε αιώνες, πανεπιστήμια και σχολεία, βιβλιοθήκες και περιοδικά, συνεργασίες, ανοιχτά προβλήματα, ακόμη και αποτυχημένες ιδέες που άνοιξαν δρόμο σε άλλες. Οι ισχυρότερες υποδομές που μπορούν να αξιοποιήσουν αυτή τη συσσωρευμένη γνώση σε μεγάλη κλίμακα βρίσκονται συχνά υπό ιδιωτικό έλεγχο. Δεν γνωρίζουμε την ακριβή σύνθεση των δεδομένων εκπαίδευσης κάθε μοντέλου, άρα δεν έχει νόημα να την επινοήσουμε. Η θεσμική ασυμμετρία είναι ορατή και χωρίς αυτή τη γνώση.

Ο Karl Marx είχε χρησιμοποιήσει στα Grundrisse την έννοια του general intellect («γενική διάνοια») για τη γενική κοινωνική γνώση που ενσωματώνεται στα μέσα παραγωγής και γίνεται η ίδια παραγωγική δύναμη. [28] Θα ήταν αφελές και μάλλον ανιστόρητο να τον μετατρέψουμε σε προφήτη της τεχνητής νοημοσύνης. Η έννοια βοηθά σε κάτι πιο συγκεκριμένο, να δούμε την ένταση ανάμεσα σε γνώση που παράγεται κοινωνικά και σε υποδομές που μπορεί να ελέγχονται από πολύ λιγότερους φορείς. Ένα γλωσσικό μοντέλο δεν είναι βιβλιοθήκη που αποθηκεύει αυτούσια όσα «διάβασε»· η εκπαίδευση μετασχηματίζει δεδομένα σε αριθμητικές παραμέτρους. Η δυνατότητα να δημοσιεύονται ανοιχτά τα παραγόμενα θεωρήματα μπορεί λοιπόν να συνυπάρχει με εξάρτηση από ιδιωτικά μέσα για την παραγωγή των επόμενων.

Ο Αλέξανδρος Σχισμένος, που γράφει για την τεχνητή νοημοσύνη και την ψηφιακή εξουσία, χρησιμοποιεί τον όρο «δημοκρατικός τεχνοσκεπτικισμός». [34] Η θέση του στρέφεται ταυτόχρονα απέναντι στην τεχνοφοβία, που αντιμετωπίζει την τεχνολογία σαν αναπόφευκτη καταστροφή, και στην τεχνοφιλία, που περιμένει από την τεχνική πρόοδο να λύσει κοινωνικά προβλήματα ανεξάρτητα από τους θεσμούς. Στο βιβλίο Artificial Intelligence and Barbarism συνδέει αυτή την προβληματική με την «ψηφιακή ετερονομία», δηλαδή με συνθήκες στις οποίες οι όροι της ψηφιακής ζωής καθορίζονται από συστήματα και οργανισμούς που οι χρήστες δεν μπορούν ουσιαστικά να επηρεάσουν. [33] Στα μαθηματικά μια τέτοια ετερονομία δεν θα χρειαζόταν να πάρει τη μορφή λογοκρισίας ή απαγόρευσης. Μια κοινότητα θα μπορούσε να συζητά απολύτως ελεύθερα και παρ’ όλα αυτά να εξαρτά τις ισχυρότερες ερευνητικές της δυνατότητες από υπηρεσίες των οποίων τις προτεραιότητες δεν μπορεί να αλλάξει. Το επιχείρημα δεν εξαρτάται ούτε από το αν οι μηχανές θα αποκτήσουν κάποτε συνείδηση, εσωτερικότητα ή προθετικότητα. Ακόμη και ένα σύστημα που θα κατανοούσε και θα εξηγούσε μαθηματικά καλύτερα από εμάς θα έπρεπε να βρίσκεται κάπου, να χρηματοδοτείται από κάποιον και να υπηρετεί προτεραιότητες που κάποιος έχει επιλέξει.

Για τον Κορνήλιο Καστοριάδη η αυτονομία δεν εξαντλείται στη δυνατότητα μιας κοινωνίας να αλλάζει επιμέρους κανόνες. Προϋποθέτει να αναγνωρίζει ότι οι θεσμοί, οι αξίες και οι μορφές οργάνωσής της δεν της έχουν δοθεί από κάποια εξωτερική αναγκαιότητα αλλά αποτελούν δικό της ιστορικό δημιούργημα και μπορούν, ακριβώς γι’ αυτό, να τεθούν ξανά υπό αμφισβήτηση. [9] Η ετερονομία εμφανίζεται όταν αυτή η προέλευση λησμονείται και ό,τι έχει θεσμιστεί αρχίζει να παρουσιάζεται ως κάτι που απλώς «είναι έτσι». Σε μια κοινωνία που οργανώνεται όλο και περισσότερο γύρω από τεχνικά συστήματα, η μορφή αυτής της ετερονομίας δεν χρειάζεται να είναι θεολογική ή παραδοσιακή. Μπορεί να εμφανίζεται ως απαίτηση αποτελεσματικότητας, ως οικονομικός μονόδρομος ή ως τεχνικός περιορισμός που θεωρείται αυτονόητος. Η σύνδεση με την ΤΝ βρίσκεται ακριβώς εκεί, όχι σε κάποια υποτιθέμενη πρόβλεψη του Καστοριάδη για τις μηχανές αλλά στην ευκολία με την οποία επιλογές για το πώς οργανώνεται η έρευνα, ποιος έχει πρόσβαση στην υπολογιστική ισχύ ή ποια κριτήρια θεωρούνται σημαντικά μπορούν να πάψουν να γίνονται αντιληπτές ως κοινωνικές επιλογές. Όταν το «έτσι λειτουργεί το σύστημα» αρχίζει να αρκεί ως εξήγηση, το ουσιαστικό ερώτημα δεν είναι αν η τεχνολογία απέκτησε δική της βούληση αλλά αν εμείς εξακολουθούμε να βλέπουμε ότι οι όροι της χρήσης της μπορούν να αποφασιστούν διαφορετικά.

Το ότι ένα σύστημα είναι τόσο σύνθετο ώστε κανένας άνθρωπος να μην το κατέχει ολόκληρο δεν συνιστά από μόνο του ετερονομία. Καμία σύγχρονη κοινωνία δεν μπορεί να απαιτεί από κάθε πολίτη να κατανοεί κάθε τεχνικό σύστημα από το οποίο εξαρτάται, όπως κανένας μαθηματικός δεν ελέγχει προσωπικά κάθε γραμμή κώδικα μιας μεγάλης βιβλιοθήκης. Η πολιτική απαίτηση είναι διαφορετική, λογοδοσία, ανεξάρτητη ειδίκευση, δυνατότητα ουσιαστικής αμφισβήτησης και θεσμική δύναμη να αλλάξουν οι κανόνες. Γι’ αυτό και η «δημόσια υποδομή» δεν αποτελεί λύση από μόνη της αν σημαίνει απλώς αλλαγή του ονόματος στον ιδιοκτήτη. Η πρόσβαση, οι προτεραιότητες και η κατανομή ενός πόρου που έχει οικονομικό και ενεργειακό κόστος χρειάζονται επίσης δημόσια συζήτηση.

Η επιστημονική αυτονομία, σε αυτή την έννοια, δεν είναι αίτημα να πάρουν οι ειδικοί απεριόριστους πόρους και να αποφασίζουν μόνοι τους. Αφορά τις συνθήκες μέσα στις οποίες μια ερευνητική κοινότητα μπορεί να κρίνει τις μεθόδους της, να συζητά τους σκοπούς της και να αμφισβητεί τους όρους πρόσβασης στα μέσα που χρειάζεται. Το ποιος πληρώνει για την υποδομή παραμένει πολιτικό ζήτημα, όπως πολιτικό ζήτημα είναι και το ποια άλλα κοινωνικά αγαθά ανταγωνίζονται για τους ίδιους πόρους.

Ό,τι στα μαθηματικά φαίνεται ακόμη σχετικά εξωτικό είναι ήδη γνώριμο από τη συζήτηση για την εργασία. Οι οικονομολόγοι Daron Acemoglu και Pascual Restrepo έχουν προτείνει να ξεχωρίζουμε την εκτόπιση ανθρώπινης εργασίας από τη δημιουργία νέων καθηκόντων που μπορούν να επανεντάξουν εργαζομένους στην παραγωγή. [2] Ο David Autor, οικονομολόγος της εργασίας, έχει υποστηρίξει ότι η ΤΝ θα μπορούσε υπό ορισμένες συνθήκες να δώσει σε περισσότερους εργαζομένους πρόσβαση σε εξειδικευμένη γνώση και να τους επιτρέψει να συμμετέχουν σε αποφάσεις από τις οποίες σήμερα αποκλείονται. [4] Ο Acemoglu, σε μακροοικονομική ανάλυση, είναι πιο συγκρατημένος ως προς το πόσο οι μεγάλες βελτιώσεις σε μεμονωμένα καθήκοντα θα μετατραπούν σε αντίστοιχη ανάπτυξη ολόκληρης της οικονομίας. [1] Οι αναλύσεις τους δεν είναι απλώς αισιόδοξη και απαισιόδοξη εκδοχή της ίδιας πρόβλεψης αλλά εξετάζουν διαφορετικούς μηχανισμούς.

Οι εντυπωσιακοί αριθμοί για τις θέσεις εργασίας χρειάζονται γι’ αυτό προσεκτική ανάγνωση. Η Διεθνής Οργάνωση Εργασίας εκτίμησε το 2025 ότι περίπου ένας στους τέσσερις εργαζομένους παγκοσμίως βρίσκεται σε επάγγελμα με κάποια «έκθεση» στην παραγωγική ΤΝ. [20] Η έκθεση μετρά το κατά πόσο συγκεκριμένα καθήκοντα μπορούν να επηρεαστούν από τα διαθέσιμα εργαλεία, δεν είναι πρόβλεψη ότι μία στις τέσσερις θέσεις θα καταργηθεί. Η ίδια μελέτη θεωρεί πιθανότερο τον μετασχηματισμό πολλών επαγγελμάτων από την πλήρη εξαφάνισή τους. Το κοινωνικό αποτέλεσμα εξαρτάται από κάτι που η τεχνική μέτρηση δεν περιέχει, το ποιος θα καρπωθεί το κέρδος της παραγωγικότητας. Περισσότερη παραγωγή με λιγότερη ανθρώπινη εργασία μπορεί να γίνει μικρότερο ωράριο, υψηλότερο εισόδημα ή καλύτερες δημόσιες υπηρεσίες. Μπορεί εξίσου να γίνει απόλυση, εντατικοποίηση και μεγαλύτερη συγκέντρωση πλούτου. Στα πανεπιστήμια το δίλημμα είναι ήδη εύκολο να φανεί. Αν ένας μαθηματικός τελειώνει μια τεχνική εργασία στο μισό χρόνο, ο υπόλοιπος χρόνος μπορεί να πάει στη διδασκαλία, σε μια δύσκολη ιδέα που δεν υπόσχεται γρήγορη δημοσίευση ή απλώς σε ζωή έξω από την εργασία. Μπορεί επίσης να μετατραπεί σε νέα νόρμα που απαιτεί διπλάσια παραγωγή. Ο διαθέσιμος χρόνος που δημιουργείται έτσι μπορεί να χρησιμοποιηθεί με πολύ διαφορετικούς τρόπους, ανάλογα με τους θεσμούς μέσα στους οποίους εντάσσεται η τεχνολογία.

Οι δείκτες παραγωγικότητας αφήνουν απέξω και κάτι πολύ πιο προσωπικό. Ένας άνθρωπος μπορεί να έχει περάσει δεκαπέντε χρόνια μαθαίνοντας να αποδεικνύει δύσκολα θεωρήματα και να βλέπει ένα σύστημα να παράγει παρόμοια αποτελέσματα μέσα σε ώρες. Σήμερα αυτό απέχει (ακόμη) από το να περιγράφει κάθε πεδίο των μαθηματικών. Ως πιθανότητα, ωστόσο, αρκεί για να εξηγήσει ένα πραγματικό αίσθημα απώλειας. Μια δεξιότητα είναι συχνά μαζί επάγγελμα, τρόπος αναγνώρισης, σχέση με μια κοινότητα και κομμάτι της εικόνας που έχουμε για τον εαυτό μας. Η συνηθισμένη παρηγοριά ότι «πάντα θα χρειάζονται άνθρωποι» δεν είναι αρκετή επειδή εξαρτά την ανθρώπινη αξία από μια τεχνική πρόβλεψη για το μέλλον που κανείς δεν μπορεί να εγγυηθεί. Η αξία μιας δραστηριότητας, πάντως, δεν εξαρτάται αποκλειστικά από το αν ο άνθρωπος παραμένει ο καλύτερος στην εκτέλεσή της. Παίζουμε σκάκι παρότι οι καλύτερες μηχανές είναι ισχυρότερες από τους ανθρώπους. Ακούμε και παίζουμε μουσική χωρίς η αξία της εμπειρίας να εξαρτάται από το αν ο άνθρωπος είναι ο πιο αποτελεσματικός παραγωγός ήχων. Στα μαθηματικά, αντίστοιχα, η ορθότητα του θεωρήματος είναι μόνο ένα μέρος της δραστηριότητας. Ο Σχισμένος, σε κείμενό του για τις παραστατικές τέχνες, επιμένει στην αξία της ανθρώπινης παρουσίας, του κοινού χρόνου και της σχέσης ανάμεσα στους συμμετέχοντες. [35] Η αναλογία έχει σαφή όρια βέβαια αφού η ορθότητα ενός θεωρήματος δεν εξαρτάται από το αν βρεθήκαμε μαζί σε μια αίθουσα. Φωτίζει, παρ’ όλα αυτά, κάτι που η μέτρηση των αποτελεσμάτων χάνει.

Όταν ένας φοιτητής καταλαβαίνει για πρώτη φορά μια γνωστή απόδειξη, δεν προστίθεται τίποτε στη διεθνή βιβλιογραφία. Έχει όμως αλλάξει ο ίδιος, βλέπει μια σχέση που πριν δεν έβλεπε, μπορεί να διατυπώσει μια ερώτηση που πριν δεν είχε τα μέσα να σκεφτεί, αποκτά λίγο περισσότερη κρίση. Η περιέργεια, το παιχνίδι, η αισθητική απόλαυση και η συμμετοχή σε μια κοινότητα δεν είναι διακοσμητικές προσθήκες μετά τη «σοβαρή» παραγωγή γνώσης. Για πολλούς ανθρώπους είναι μέρος του λόγου που η μαθηματική δραστηριότητα αξίζει εξαρχής τον χρόνο τους.

Αυτό, βέβαια, δεν πληρώνει το νοίκι. Ο Avigad παρατηρεί εύστοχα ότι το γεγονός πως οι άνθρωποι εξακολουθούν να παίζουν σκάκι μετά την υπεροχή των μηχανών δεν μας λέει ποιος θα χρηματοδοτεί ανθρώπους που θέλουν να συνεχίσουν να κάνουν μαθηματικά. [5] Αν ένας ερευνητής χάσει τη θέση του δεν απέκτησε ελευθερία επειδή μπορεί ακόμη να αποδεικνύει θεωρήματα για ευχαρίστηση. Χρειάζεται εισόδημα, χρόνο, πρόσβαση στη βιβλιογραφία και άλλους ανθρώπους με τους οποίους να σκέφτεται. Η επίκληση της «εγγενούς αξίας» μιας δραστηριότητας γίνεται κυνική όταν συνοδεύει την εξαφάνιση των υλικών όρων που την καθιστούν δυνατή.

Η Kathi Weeks, πολιτική θεωρητικός της φεμινιστικής σκέψης και συγγραφέας του The Problem with Work, αντιμετωπίζει την εργασία ως θεσμό που οργανώνει όχι μόνο το εισόδημα αλλά και την κοινωνική αναγνώριση και μεγάλο μέρος της ταυτότητάς μας. Η κριτική της δεν είναι ατομική συμβουλή για να βρούμε περισσότερο νόημα στον ελεύθερο χρόνο, συνδέεται με συλλογικές αλλαγές όπως η μείωση του ωραρίου χωρίς αντίστοιχη μείωση αποδοχών. [40, σ. 1–8, 172–173 και 227–233] Στο ίδιο πνεύμα ζητά χώρο για χρόνο που δεν χρειάζεται να δικαιολογείται διαρκώς από όσα θα παραγάγουμε μέσα σε αυτόν, χρόνο στον οποίο μπορούν να εμφανιστούν επιθυμίες και τρόποι ζωής που δεν γνωρίζουμε ακόμη. [40, σ. 169–171] Ακόμη και σε μια κοινωνία με πολύ περισσότερη αυτοματοποίηση, η αναγκαία εργασία θα παραμένει. Η φροντίδα, η συντήρηση και η καθημερινή αναπαραγωγή της ζωής πρέπει να μοιραστούν και μια κοινωνία που «απελευθερώνει» χρόνο για λίγους μεταφέροντας περισσότερη αόρατη εργασία σε άλλους έχει απλώς μετακινήσει την εξάρτηση. Ούτε ο ελεύθερος χρόνος βιώνεται αυτομάτως ως ελευθερία, χωρίς παιδεία, χώρους, σχέσεις και πραγματικές δυνατότητες συμμετοχής μπορεί να γίνει απομόνωση. Η πολιτική υπόσχεση της αυτοματοποίησης αποκτά περιεχόμενο μόνο όταν ο χρόνος που εξοικονομείται μετατρέπεται σε πραγματική δυνατότητα μάθησης, δημιουργίας, φροντίδας ή πολιτικής συμμετοχής για περισσότερους ανθρώπους.

Η προτεινόμενη απόδειξη των Navier–Stokes θα κριθεί τελικά εκεί όπου πρέπει, στα μαθηματικά. Ένα τεχνικό κενό δεν διορθώνεται με πολιτική θεωρία. Εφόσον η απόδειξη αντέξει, η σημασία της θα υπερβαίνει την προσθήκη ενός ακόμη θεωρήματος στη βιβλιοθήκη. Θα έχουμε ένα πολύ συγκεκριμένο παράδειγμα του πόσο μπορούν να απομακρυνθούν μεταξύ τους η παραγωγή, η επαλήθευση και η αφομοίωση ενός αποτελέσματος και του πόσο γρήγορα η οργάνωση της γνώσης γίνεται ζήτημα υποδομών, εκπαίδευσης και εργασίας. Αν έρχεται πράγματι κάποια μορφή «αφθονίας αποδείξεων», με ενδιαφέρει λιγότερο η αναζήτηση ενός τελευταίου ανθρώπινου προνομίου και περισσότερο το ποιοι θα μπορούν να επιλέγουν τι αξίζει να αποδειχθεί, ποιοι θα έχουν τον χρόνο και την παιδεία να κατανοούν όσα παράγονται και ποιοι θα ελέγχουν τα μέσα που κάνουν αυτή την παραγωγή δυνατή. Το εργαλείο έχει ήδη μπει στη μαθηματική ζωή. Η αυτονομία θα κριθεί από το αν θα μπορούμε να αλλάζουμε συλλογικά τους όρους αυτής της σχέσης, ιδίως όταν οι υποδομές πάνω στις οποίες στηρίζεται συγκεντρώνονται στα χέρια λίγων.

Βιβλιογραφία

1. Acemoglu, Daron. «The Simple Macroeconomics of AI». Economic Policy 40, αρ. 121 (2025): 13–58· πρώτη διαδικτυακή δημοσίευση 6 Αυγούστου 2024. DOI: 10.1093/epolic/eiae042. Πηγή
2. Acemoglu, Daron και Pascual Restrepo. «Automation and New Tasks: How Technology Displaces and Reinstates Labor». Journal of Economic Perspectives 33, αρ. 2 (2019): 3–30. DOI: 10.1257/jep.33.2.3. Πηγή
3. Alper, Jarod, Michael J. Barany, Alain Chavarri Villarello, Sander Dahmen, Walter Dean, Karthik Ganapathy, Michael Harris, David Holmes, Mateja Jamnik, Steven Kelk, Bryna Kra, Ursula Martin, Bartosz Naskręcki, Rodrigo Ochigame, Jim Portegies και Johannes Schmitt. Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics. 2 Ιουνίου 2026. DOI: 10.5281/zenodo.20302944. Πηγή
4. Autor, David. «Applying AI to Rebuild Middle Class Jobs». NBER Working Paper 32140, Φεβρουάριος 2024. DOI: 10.3386/w32140. Πηγή
5. Avigad, Jeremy. «Mathematicians in the age of AI». Προδημοσίευση, 3 Μαρτίου 2026, αναθεώρηση 6 Απριλίου 2026. arXiv:2603.03684. Πηγή
6. Bainbridge, Lisanne. «Ironies of Automation». Automatica 19, αρ. 6 (Νοέμβριος 1983): 775–779. DOI: 10.1016/0005-1098(83)90046-8. Πηγή
7. Bastani, Hamsa, Osbert Bastani, Alp Sungu, Haosen Ge, Özge Kabakcı και Rei Mariman. «Generative AI without guardrails can harm learning: Evidence from high school mathematics». Proceedings of the National Academy of Sciences 122, αρ. 26 (2025): e2422633122. DOI: 10.1073/pnas.2422633122. Πηγή
8. Buckmaster, Tristan. Δημόσια δήλωση για την εργασία με τον Levent Alpöge και τις επαφές με την OpenAI. Αχρονολόγητο PDF στον προσωπικό πανεπιστημιακό ιστότοπο, αναφέρεται στα γεγονότα της 3ης–7ης Σεπτεμβρίου 2026. Προσπέλαση στις 8 Σεπτεμβρίου 2026. Πηγή
9. Castoriadis, Cornelius. «Power, Politics, Autonomy». Στο Philosophy, Politics, Autonomy: Essays in Political Philosophy, επιμέλεια και μετάφραση David Ames Curtis, 143–174. Νέα Υόρκη: Oxford University Press, 1991. Πηγή
10. Clay Mathematics Institute. «Navier–Stokes Equation». Επίσημη σελίδα κατάστασης του προβλήματος, χ.χ. Προσπέλαση 9 Σεπτεμβρίου 2026. Πηγή
11. Clay Mathematics Institute. «Rules for the Millennium Prize Problems». Κανόνες που υιοθετήθηκαν στις 26 Σεπτεμβρίου 2018. Προσπέλαση 9 Σεπτεμβρίου 2026. Πηγή
12. Clay Mathematics Institute. «The Millennium Prize Problems». Επίσημη παρουσίαση της ιστορίας και του σκοπού των επτά προβλημάτων· ανακοίνωση στο Collège de France, Παρίσι, 24 Μαΐου 2000. Προσπέλαση 9 Σεπτεμβρίου 2026. Πηγή
13. Commelin, Johan, Mateja Jamnik, Rodrigo Ochigame, Lenny Taelman και Akshay Venkatesh. «Shaping the Future of Mathematics in the Age of AI». Notices of the American Mathematical Society 73, αρ. 6 (2026): 480–483. DOI: 10.1090/noti3347. arXiv:2603.24914. Πηγή
14. Darrigol, Olivier. «Between Hydrodynamics and Elasticity Theory: The First Five Births of the Navier–Stokes Equation». Archive for History of Exact Sciences 56, αρ. 2 (2002): 95–150. DOI: 10.1007/s004070200000. Πηγή
15. DeMillo, Richard A., Richard J. Lipton και Alan J. Perlis. «Social Processes and Proofs of Theorems and Programs». Communications of the ACM 22, αρ. 5 (Μάιος 1979): 271–280. DOI: 10.1145/359104.359106. Πηγή
16. Doshi, Anil R. και Oliver P. Hauser. «Generative AI enhances individual creativity but reduces the collective diversity of novel content». Science Advances 10, αρ. 28 (12 Ιουλίου 2024): eadn5290. DOI: 10.1126/sciadv.adn5290. Πηγή
17. Farwig, Reinhard. «From Jean Leray to the millennium problem: the Navier–Stokes equations». Journal of Evolution Equations 21 (2021): 3243–3263. DOI: 10.1007/s00028-020-00645-3. Πηγή
18. Fefferman, Charles L. «Existence and smoothness of the Navier–Stokes equation». Επίσημη διατύπωση του Millennium Prize Problem, Clay Mathematics Institute, χ.χ. Προσπέλαση 9 Σεπτεμβρίου 2026. Πηγή
19. Friedlander, Susan, Peter Lax, Cathleen Morawetz, Louis Nirenberg, Gregory Seregin, Nina Ural’tseva και Mark Vishik. «Olga Alexandrovna Ladyzhenskaya (1922–2004)». Notices of the American Mathematical Society 51, αρ. 11 (2004): 1320–1331. Πηγή
20. Gmyrek, Paweł, Janine Berg, Karol Kamiński, Filip Konopczyński, Agnieszka Ładna, Bálint Náfrádi, Konrad Rosłaniec και Marek Troszyński. Generative AI and Jobs: A Refined Global Index of Occupational Exposure. ILO Working Paper 140. Γενεύη: International Labour Organization, 20 Μαΐου 2025. DOI: 10.54394/HETP0387. Πηγή
21. Gowers, Timothy, με συμβολή του Isaac Rajagopal. «A recent experience with ChatGPT 5.5 Pro». Gowers’s Weblog, 8 Μαΐου 2026. Πηγή
22. Gowers, Timothy. «Thoughts about the Leiden Declaration». Gowers’s Weblog, 26 Ιουλίου 2026. Πηγή
23. Hales, Thomas, κ.ά. «A formal proof of the Kepler conjecture». Forum of Mathematics, Pi 5 (2017): e2. DOI: 10.1017/fmp.2017.1. Πηγή
24. Kestin, Greg, Kelly Miller, Anna Klales, Timothy Milbourne και Gregorio Ponti. «AI tutoring outperforms in-class active learning: an RCT introducing a novel research-based design in an authentic educational setting». Scientific Reports 15 (2025): 17458. DOI: 10.1038/s41598-025-97652-6. Πηγή
25. The Lean Project. Theorem Proving in Lean 4. Κεφάλαιο «Axioms and Computation», διαδικτυακό εγχειρίδιο, χ.χ. Προσπέλαση 8 Σεπτεμβρίου 2026. Πηγή
26. Lee, Hao-Ping (Hank), Advait Sarkar, Lev Tankelevitch, Ian Drosos, Sean Rintel, Richard Banks και Nicholas Wilson. «The Impact of Generative AI on Critical Thinking: Self-Reported Reductions in Cognitive Effort and Confidence Effects From a Survey of Knowledge Workers». Στο Proceedings of the 2025 CHI Conference on Human Factors in Computing Systems (CHI ’25), άρθρο 1121, 1–22. New York: Association for Computing Machinery, Απρίλιος 2025. DOI: 10.1145/3706598.3713778. Πηγή
27. MacKenzie, Donald. Mechanizing Proof: Computing, Risk, and Trust. Cambridge, MA: MIT Press, 2001. ISBN 0-262-13393-8. Πηγή
28. Marx, Karl. Grundrisse: Foundations of the Critique of Political Economy (Rough Draft). Μετάφραση Martin Nicolaus. Harmondsworth: Penguin Books, σε συνεργασία με New Left Review, 1973. Χειρόγραφα 1857–1858. Πηγή
29. Ochigame, Rodrigo. «Automated Mathematics and the Reconfiguration of Proof and Labor». Bulletin of the American Mathematical Society 61, αρ. 3 (2024): 423–437. DOI: 10.1090/bull/1821. arXiv:2309.11457. Πηγή
30. OpenAI. Finite time blowup for Navier–Stokes. Προδημοσίευση, ανακοινώθηκε στις 8 Σεπτεμβρίου 2026. Πηγή
31. OpenAI. NavierStokesAndEuler. Δημόσιο αποθετήριο της τυπικής απόδειξης σε Lean, 2026. Άδεια Apache 2.0. Έλεγχος 8 Σεπτεμβρίου 2026. Πηγή
32. OpenAI. «On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem». 8 Σεπτεμβρίου 2026. Πηγή
33. Schismenos, Alexandros. Artificial Intelligence and Barbarism: A Critique of Digital Reason. Αθήνα: Athens School, Ιούνιος 2025. ISBN 978-618-87772-1-7. DOI: 10.5281/zenodo.15805493. Πηγή
34. Σχισμένος, Αλέξανδρος. «Η Τεχνητή Νοημοσύνη δεν ενδιαφέρεται για την Ηθική: Γιατί ο τεχνοσκεπτικισμός πρέπει να είναι πολιτικός». Αυτολεξεί, 30 Δεκεμβρίου 2025. Πηγή
35. Σχισμένος, Αλέξανδρος. «Οι Παραστατικές Τέχνες ως Όριο του Ψηφιακού: Θεατρικός Χρόνος και Τεχνητή Νοημοσύνη». Αυτολεξεί, 23 Φεβρουαρίου 2026. Πηγή
36. Solé, Ricard, Giulio Ruffini, Francesca Castaldo, Marco Tuccio, Luis F. Seoane, Manlio de Domenico, Santiago F. Elena, David C. Krakauer και Michael Levin. «Large-Language Models as a Cognitive Virus». Προδημοσίευση, 3 Σεπτεμβρίου 2026. arXiv:2609.03344v1. DOI: 10.48550/arXiv.2609.03344. Πηγή
37. Tao, Terence. «Mathematics in the age of AI». Προδημοσίευση, 2026. arXiv:2608.16753. Πηγή
38. Tao, Terence. New mathematical workflows. Διαφάνειες, Μάιος 2026· ομιλία στο Future of Mathematics Symposium, Stanford, 2 Μαΐου 2026. Πηγή
39. Thurston, William P. «On proof and progress in mathematics». Bulletin of the American Mathematical Society 30, αρ. 2 (1994): 161–177. arXiv:math/9404236. Πηγή
40. Weeks, Kathi. The Problem with Work: Feminism, Marxism, Antiwork Politics, and Postwork Imaginaries. Durham, NC: Duke University Press, 2011. ISBN 978-0-8223-5112-2. Πηγή